新しい

数学の入門として、線形代数と解析学というものがあるわけですが、
前者は主に高等数学Bのベクトルと複素数、Cの行列を混ぜ込んだもの
であり、後者は主に数学IIIの微分積分を中心としたモノと言えます。
難しさ的にはまだ高等学校の数学Aには及ばない程度だと思います（笑）
それでこの数学という道具を使って物理現象を解いていくわけですね。

また物理としては力学を最初に勉強するのですが、速度vをdx/dtで
表現したり、加速度αをd^2x/dt^2と表現したりします。　（位置xの
時間一階微分は速度、二階微分は加速度）　別にx’、x’’でも問題ない
のですが（笑）　ちなみにa^2はエーのニジョウの事です。

例を挙げると、質量mのゴルフボールが落下する時の運動方程式は

　　　mα = -mg　（gは重力加速度、αを加速度、上向き正）

左辺が運動、右辺がその運動を与える力という式の構成になるのですが
左辺をm（d^2y/dt^2）と表現して、両辺をmで割ってやると

　　　d^2y/dt^2 = -g

という形になります。
dy/dtの意味を考えると本来正しくないと数学屋に叩かれそうですが、
ここで両辺にdtをかけてやり

　　　d(dy/dt) = -gdt

と形式的に見てやるとわかりやすいと思います。　左辺がdy/dtの
（これ速度ですね）とても小さい変化を表していて、右辺がそれに
対応する量（dはとても小さい変化量と見ますからね）となっています。
ここで両辺に∫をつけて積算してやりますと…

　　　dy/dt = ∫(-g)dt
　　　　　　　 = -gt+c　　　　　（cは積分定数）

という具合にgは定数ですので簡単に積分できます。　ここでもう一度
両辺にdtをかけてやり、∫をつけますと…

　　　dy = (-gt+c)dt
　　　　y = ∫(-gt+c)dt

左辺が高さの微小変化、右辺がそれに対応する量、という関係になって
います。　右辺の積分を実行すると

　　　y = d+ct-(1/2)gt^2　　　（dは積分定数）

という感じで、運動方程式から高さをtの関数として導けるわけです。
多少おこがましいですが、これも立派な微分方程式です。

何故こんなわけのわからない話をつらつら書いたかといいますと、
やはりかとるあたりに物理とかやってほしいからです（笑）